# IEEE 754 浮点数标准（以 FP32 为例）
这篇文章主要记录一下 **IEEE 754 的 float 标准**，以最常见的 **FP32（single precision）** 为例。
FP32 一共由 **32 位**组成：
- **1 位符号位（sign）**
- **8 位指数位（exponent）**
- **23 位尾数位（fraction）**
可以表示为：
```text
[ sign | exponent(8) | fraction(23) ]
```
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# 一、正规数（Normal）
对于绝大多数浮点数，IEEE 754 使用的是 **正规数（normal number）** 。
它的数学形式为：
$x = (-1)$$s \times (1.f) \times 2$$e$
其中：
- `s`：符号位
- `1.f`：有效数字（significand）
- `e`：真实指数（biased exponent - 127）
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## 为什么尾数默认是 `1.f`
二进制科学计数法要求规格化后一定写成：
$1.xxxxx \times 2^e$
因为小数点左边永远是 `1`，所以这个 `1` **根本不用存**。
于是 IEEE 754 直接白嫖这一位：
> 默认最高位恒为 `1`
这就是经典的 **hidden bit（隐含前导 1）** 。
所以 FP32 虽然只存了 **23 位 fraction**，但实际精度是：
> **24 位有效精度**
这也是 float 能提供约 **7 位十进制有效数字** 的核心原因。 :contentReference[oaicite:4]{index=4}
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# 二、为什么需要非正规数（Subnormal）
hidden bit 很优雅，但它有一个问题：
> 最小正规数不能继续缩小了
FP32 最小正规正数是： $1.0 \times 2^{-126}$
约等于：$1.17549435\times10^{-38}$
如果没有额外设计，再小就会直接变成 `0`。
这会造成：
> **sudden underflow（骤然下溢）**
也就是最小正规数和 `0` 中间出现巨大的表示空洞。 :contentReference[oaicite:5]{index=5}
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## 渐进下溢（Gradual Underflow）
IEEE 754 的解决方案是：
> 引入 **非正规数（subnormal）**
规则是：
- 指数位固定全 0
- 不再使用 hidden bit
- 尾数变成：$0.f$
数学形式变成：$x = (-1)$$s \times (0.f) \times 2$${-126}$
这样就可以利用 **23 位 fraction**
把 `(0, min_normal)` 之间的空间均匀填满。
最小 subnormal 为：$2^{-149}$ ，约等于：$1.40129846\times10^{-45}$
这就实现了：
> **平滑地衰减到 0**
> 而不是突然掉成 0。 :contentReference[oaicite:6]{index=6}
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# 三、特殊值：Inf 和 NaN
当指数位全为 `1` 时，表示特殊值。
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## Infinity
如果：
- exponent = `11111111`
- fraction = `000...000`
则表示：$+\infty / -\infty$
例如：
- overflow
- `1.0 / 0.0`
都会产生 Infinity。 :contentReference[oaicite:7]{index=7}
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## NaN
如果：
- exponent = `11111111`
- fraction ≠ `0`
则表示：
> **NaN（Not a Number）**
例如：
- `0.0 / 0.0`
- `sqrt(-1)`
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# 四、一个非常优雅的 float 排序技巧
FP32 的 bit pattern 可以通过一个映射，直接转成：
> **可按整数比较大小的 key**
代码如下：
```cpp
uint32_t to_key(float f) {
uint32_t bits;
memcpy(&bits, &f, 4);
return (bits >> 31) ? ~bits : (bits | 0x80000000u);
}
```
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## 原理
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### 1）正数：最高位强制设为 1
正数原始 bit：
```text
0 exponent fraction
```
映射后：
```text
1 exponent fraction
```
因为正规浮点在正数区间天然满足：
> 指数越大，数越大
> 指数相同，尾数越大，数越大
所以可以直接按整数排序。
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### 2）负数：全部取反
负数原始 bit：
```text
1 exponent fraction
```
直接：
```cpp
~bits
```
效果非常巧妙：
### 符号位
最高位变成 `0`，保证所有负数都排在正数前面。
### 数值顺序
负数里：
> 绝对值越大，实际值越小
而按位取反本质是： $\sim x = (2^N-1)-x$
所以：
> 原来 bit 越大
> 映射后反而越小
顺序刚好被纠正。
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# 五、为什么“尾数不可能大过指数”
这是 IEEE 754 最优雅的设计之一。
正规数恒满足： $1 \le M < 2$
其中： $M = 1.f$
所以浮点数总写成：$x = M \times 2^e$
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## 为什么指数优先天然正确
假设：
$x_1=M_1\times2^{e_1}$
$x_2=M_2\times2^{e_2}$
如果：
$e_1=e_2+1$
那么：
$x_1 \ge 1\times2$${e_2+1}=2\times2$${e_2}$
而：
$x_2 < 2\times2^{e_2}$
因此一定有：
$x_1>x_2$
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## 本质理解：binade 区间
每个指数对应一个数值区间： $[2$$e,\ 2$${e+1})$ 尾数只是在这个区间里移动。所以：
> **指数决定区间**
> **尾数决定区间内位置**
尾数永远不可能跨区间反超。
这就是为什么：
> **先比较指数，再比较尾数**
> 天然等价于数值排序